Question

例4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，對于nN，以a_n，a_n+1為系數(shù)的一元二次方程a_nx²-2 a_n+1x+1=0
都有根α、β且滿足（α-1）（β-1）=2．
（1）求證數(shù)列{an-

1

3

}是等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理可知α+β=

2an+1

an

，αβ=

1

an

，代入（α-1）（β-1）=2中整理得a_n-

1

3

=-2（a_n+1-

1

3

），進(jìn)而可判定數(shù)列{an-

1

3

}是等比數(shù)列．
（2）由（1）可求得數(shù)列{an-

1

3

}的首項和公比，可求得數(shù)列{an-

1

3

}的通項公式，進(jìn)而求得a_n．

解答：解：（1）證明：依題意可知α+β=

2an+1

an

，αβ=

1

an

∴（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=

1

an

-

2an+1

an

+1=2
整理得a_n-

1

3

=-2（a_n+1-

1

3

），a₁-

1

3

=

8

3

∴數(shù)列{an-

1

3

}是以

8

3

為首項，-

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知a_n-

1

3

=

8

3

×（-

1

2

）^n-1，
∴a_n=

8

3

×（-

1

2

）^n-1+

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和等比關(guān)系的確定．考查了學(xué)生對等比數(shù)列的定義和通項公式的理解和把握．