Question

（本小題滿分13分）若集合具有以下性質(zhì)：①②若，則，且時(shí)，.則稱集合是“好集”.

（Ⅰ）分別判斷集合，有理數(shù)集Q是否是“好集”，并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)集合是“好集”，求證：若，則；

（Ⅲ）對(duì)任意的一個(gè)“好集”A，分別判斷下面命題的真假，并說明理由.

命題：若，則必有；

命題：若，且，則必有；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）有理數(shù)集是“好集”.  （Ⅱ）.

（Ⅲ）命題均為真命題.. 

【解析】(I) 先假設(shè)集合是“好集”.因?yàn)?sub>，，所以

這與矛盾.這樣就確定集合不是“好集”.有理數(shù)Q也采用同樣的方法,進(jìn)行推證.

(II)根據(jù)好集的定義是“好集”，則，然后再根據(jù)x,y的任意性，可證明.

(III)本小題也是先假設(shè)p、q都是真命題，然后根據(jù)好集的定義進(jìn)行推證._.

（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假設(shè)集合是“好集”.

因?yàn)?sub>，，所以. 這與矛盾.…………2分

有理數(shù)集是“好集”. 因?yàn)?sub>，,對(duì)任意的，有，且時(shí)，.所以有理數(shù)集是“好集”.    ………………………………4分

（Ⅱ）因?yàn)榧��?sub>是“好集”，所以 .若，則，即.

所以，即.          …………………………6分

（Ⅲ）命題均為真命題. 理由如下：     ………………………………………7分

對(duì)任意一個(gè)“好集”，任取， 若中有0或1時(shí)，顯然.

下設(shè)均不為0，1. 由定義可知：.所以，即.  

所以 . 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.

若或，則顯然.若且，則.

所以 .    所以 _.由（Ⅱ）可得：.

所以 .綜上可知，，即命題為真命題.若，且，則.

所以 ，即命題為真命題.    ……………………………………13分