Question

（1）已知f（x）為一次函數(shù)，f[f（x）]=2x-1，求f（x）的解析式．
（2）函數(shù)y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，當x＞0時f（x）=x²-2x-3，求函數(shù)y=f（x）的解析式．
（3）已知a，b為常數(shù)，若f（x）=x²+4x+3，f（ax+b）=x²+10x+24，求5a-b的值．

Answer 1

解：（1）設f（x）=ax+b，則f（f（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b
∵f[f（x）]=2x-1，∴a²x+ab+b=2x-1
∴a²=2且ab+b=-1，解得a=，b=1-或a=-，b=1+
∴或
（2）∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，∴f（0）=0
下面求x＜0時函數(shù)解析式
設x＜0，則-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3
∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴x＜0時函數(shù)解析式f（x）=-x²-2x+3
∴函數(shù)y=f（x）的解析式為
（3）∵f（x）=x²+4x+3
∴f（ax+b）=（ax+b）²+4（ax+b）+3=a²x²+（2ab+4a）x+b²+4b+3=x²+10x+24
∴，解得或
∴5a-b=2
分析：（1）運用待定系數(shù)法，設一次函數(shù)為f（x）=ax+b，代入已知后通過比較系數(shù)列方程求出a、b即可
（2）運用對稱性求解析式，先確定f（0）=0，再設x＜0，利用奇函數(shù)性質和x＞0時f（x）=x²-2x-3，求出x＜0時函數(shù)解析式，最后將函數(shù)解析式合成分段函數(shù)
（3）運用待待定系數(shù)法，將ax+b代入f（x）=x²+4x+3，化簡后比較系數(shù)，列方程求出a、b即可
點評：本題考察了求函數(shù)解析式的方法，待定系數(shù)法，對稱性法，配湊法等，解題時要歸納解題規(guī)律，認清形式，準確選擇恰當方法解決問題．