Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)，
(1)求證：平面PDE⊥平面PAC；
(2)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)B到平面PDE的距離．

Answer 1

解：如圖， (1)設(shè)AC與DE交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F， 則易得△DAE≌△FBE， ∴BF=AD=1，∴CF=4， ∴， 又∵， ∴∠BFE=∠ACD， 又∵∠ACD+∠ACF=90°， ∴∠BFE+∠ACF=90°， ∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE， 又∵PC⊥底面ABCD， ∴PC⊥DE， ∴DE⊥平面PAC， ∵DE平面PDE， ∴平面PDE⊥平面PAC。 (2)連接PG，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥PG于H點(diǎn)， 則由(1)知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交線， 根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得CH⊥平面PDE， 從而∠CPH，即∠CPG為直線PC與平面PDE所成的角， 在Rt△DCA中，， 在Rt△PCG中，， 所以，即直線PC與平面PDE所成的角的正弦值為。 (3)由，可知點(diǎn)B到平面PDE的距離等于 點(diǎn)C到平面PDE的距離的，即CH， 在Rt△PCG中，， 從而點(diǎn)B到平面PDE的距離等于。