Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n可用組合數(shù)表示為S_n=C_n+3³-C_n+2³+C_n⁰．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若f（n）為關(guān)于n的多項(xiàng)式，且滿足

lim

n→∞

[

Sn

an

-f(n)]=2，求f（n）的表達(dá)式．

Answer 1

（1）Sn=

C

3n+3

-

C

3n+2

+

C

0n

=

n2+3n+4

2

，（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=4，
因此an=

4 n=1 n+1   n≥2.

（7分）
（2）

lim

n→∞

[

Sn

an

-f(n)]=

lim

n→∞

[

n2+3n+4

2(n+1)

-f(n)]=

lim

n→∞

n2+3n+4-2(n+1)f(n)

2(n+1)

，
（9分）
由題設(shè)

lim

n→∞

n2+3n+4-2(n+1)f(n)

2(n+1)

=2，由于當(dāng)多項(xiàng)式f（n）中n的最高次數(shù)大于或等于2時(shí)，極限不存在，
故可設(shè)f（n）=an+b，
代入得

lim

n→∞

(1-2a)n2+(3-2b-2a)n+4-2b

2n+2

=2，即

1-2a=0 3-2b-2a 2 =2

（12分）
解得a=

1

2

，b=-1，因此f(n)=

1

2

n-1．                         （14分）