Question

甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分．若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別為

3

5

和p，且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為

9

20

，假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響
（1）求p的值；
（2）記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知甲、乙兩人射擊互不影響，則本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，根據(jù)甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為

9

20

，寫出關(guān)于p的方程，解方程求的結(jié)果．
（2）甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為ξ，根據(jù)題意知變量的可能取值是0、2、4，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出概率和分布列，求出期望．

解答：解：（1）設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，
“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，
“甲射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件

.

A

，
“乙射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件

.

B

，
則P（A）=

3

5

，P（

.

A

）=

2

5

，P（B）=P，P（

.

B

）=1-P
依題意得：

3

5

(1-P)+

2

5

P=

9

20

，
解得P=

3

4

，
故p的值為

3

4

．
（2）ξ的取值分別為0，2，4．
P（ξ=0）=P（

.

A

.

B

）=P（

.

A

）P（

.

B

）=

2

5

×

1

4

=

1

10

，
P（ξ=2）=

9

20

P（ξ=4）=P（AB）=P（A）P（B）=

3

5

×

3

4

=

9

20

，
∴ξ的分布列為

∴Eξ=0×

1

10

+2×

9

20

+4×

9

20

=

27

10

點(diǎn)評：考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式．