Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n＞0，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，對任意的n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記

bn

=

1

2an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=n+1，得到另一遞推式，兩式作差后整理，得到數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的公差，然后直接代入通項公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入

bn

=

1

2an

，變形后得到數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求出首項和公比，代入等比數(shù)列的前n項和公式得答案．

解答：解：（1）由2Sn=2an2+an-1，得2Sn+1=2an+12+an+1-1
相減得：2a_n+1=2（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）+（a_n+1-a_n）
整理得：（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0
∵a_n＞0，∴2a_n+1-2a_n-1=0，
∴an+1=an+

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列
∴an=

n+1

2

；
（ 2 ）由

bn

=

1

2an

，得bn=(

1

2

)n+1，
∴{b_n}為首項為

1

4

．公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴Tn=

1 4 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=

1

2

-

1

2n+1

．
故Tn=

1

2

-

1

2n+1

．

點評：本題考查了等差關系的確定，考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等比關系的確定及等比數(shù)列的前n項和公式，是中檔題．