Question

（2012•房山區(qū)一模）F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為θ的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)|AF|=a，|BF|=b，則：
①若θ=60°且a＞b，則

a

b

的值為

3

；②a+b=

|AB|=

2p

sin2θ

或

2p(tan2θ+1)

tan2θ

（用p和θ表示）．

Answer 1

分析：①過(guò)A、B兩點(diǎn)向準(zhǔn)線l作垂線AC、BD，由拋物線定義知：|AC|=|FA|=a，|BD|=|FB|=b，過(guò)B作BE⊥AC，E為垂足，則可得|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=a-b，|AB|=|FA|+|FB|=a+b，利用∠BAE=∠AFx=60°，可得結(jié)論；
②設(shè)直線方程為x=my+

p

2

，代入拋物線y²=2px可得y²-2pmy-p²=0，利用韋達(dá)定理，表示弦長(zhǎng)，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

解答：解：①過(guò)A、B兩點(diǎn)向準(zhǔn)線l作垂線AC、BD，由拋物線定義知：|AC|=|FA|=a，|BD|=|FB|=b，
過(guò)B作BE⊥AC，E為垂足，∴|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=a-b，
又|AB|=|FA|+|FB|=a+b，∠BAE=∠AFx=60°．
在直角△AEB中，cos∠BAE=

|AE|

|AB|

，所以cos60°=

a-b

a+b

∴a=3b
∴

a

b

=3
②設(shè)直線方程為x=my+

p

2

，代入拋物線y²=2px可得y²-2pmy-p²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2pm，∴x₁+x₂=2pm²+p
∴a+b=|AB|=x₁+x₂+p=2pm²+2p
當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，∵

1

m

=tanθ，∴m=

1

tanθ

，∴a+b=|AB|=2pm²+2p=

2p(tan2θ+1)

tan2θ

=

2p

sin2θ

當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，|AB|=2p，結(jié)論同樣成立
故答案為：3；

2p

sin2θ

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義，考查拋物線中弦長(zhǎng)的計(jì)算，正確表示弦長(zhǎng)是關(guān)鍵．