Question

2．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，AE∥FC，AE⊥AB，AE=1，DE=$\sqrt{2}$，F(xiàn)C=$\frac{1}{2}$．
（1）證明：CD⊥平面ADE；
（2）求三棱錐E-BDF的體積．

Answer 1

分析 （1）通過證明直線與平面兩條相交直線垂直，然后證明直線與平面垂直．
（2）利用三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為幾何體的體積減去兩個三棱錐的體積即可．

解答 （1）證明：∵正方形ABCD的邊長為1，∴CD∥AB，AB⊥AD，
∵AE⊥AB，AE∩AD=A，
∴AB⊥平面ADE，
∴CD⊥平面ADE．
（2）解：AE∥FC，AE⊥AB，AE=1，DE=$\sqrt{2}$，可知：AE⊥底面ABCD，AC=$\sqrt{2}$，
FC=$\frac{1}{2}$．三棱錐E-BDF的體積：V_EF-ABCD-V_E-ABD-V_F-BCD=$\frac{1}{3}×（\frac{AE+CF}{2}）×AC×BD$$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AD×AB×AE$$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BC×DC×CF$
=$\frac{1}{3}×\frac{1+\frac{1}{2}}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．