Question

已知p：關(guān)于x的方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根，q：關(guān)于x的方程x²+mx+1=0的兩實根都小于1，若p∧q是真命題，且￢（p∨q）是假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)二次方程根與判別式的關(guān)系，可求出p為真時m的取值范圍，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求出q為真時m的取值范圍，結(jié)合p∧q是真命題，且￢（p∨q）是假命題，可得實數(shù)m的取值范圍

解答：解：∵?（p∨q）是假命題，
∴p∨q是真命題．
∵方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根，
∴△=16（m-2）²-4×4＜0，
∴1＜m＜3，
∴p為真命題時，實數(shù)m的取值范圍為A={m|1＜m＜3}．
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+mx+1．
∵方程x²+mx+1=0有兩個小于1的實根，
∴

f(1)=m+2＞0 - m 2 ＜1 △=m2-4≥0

，
解得：m≥2；
∴q為真命題時，實數(shù)m的取值范圍為B={m|m≥2}，
∴p∧q是真命題時，實數(shù)m的取值范圍是：
M=A∩B={m|1＜m＜3}∩{m|m≥2}={m|2≤m＜3}；
p∨q是真命題時，實數(shù)m的取值范圍是：
N=A∪B={m|1＜m＜3}∪{m|m≥2}={m|m＞1}，
∴p∨q是真命題，即?（p∨q）是假命題時，實數(shù)m的取值范圍是：
M∩N={m|2≤m＜3}∩{m|m＞1}={m|2≤m＜3}，
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[2，3）．

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了方程根的個數(shù)與判別式的關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次方程的相關(guān)知識點是解答的關(guān)鍵．