已知圓，若焦點在軸上的橢圓 過點，且其長軸長等于圓的直徑．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩條互相垂直的直線與，與圓交于、兩點，交橢圓于另一點，設直線的斜率為，求弦長；
（3）求面積的最大值．
（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）由題意可知，又因為橢圓過點，代入方程可求得，從而得到標準方程；（2）可設直線的方程為，根據(jù)點到直線的距離公式求出弦心距，再根據(jù)勾股定理可算出半弦長，從而得到弦長；（3）因為，故直線的方程為，和橢圓的方程聯(lián)立方程組，從而求出的長，則三角形的面積為，利用基本不等式求出最大值．
試題解析：
（1）由題意得，，所以橢圓C的方程為．
（2）設，由題意知直線的斜率存在，不妨設其為，則直線的方程為，
又圓O：，故點O到直線的距離，
所以．
（3）因為，故直線的方程為，
由消去，整理得，
故，所以，
設的面積為S，則，
所以，
當且僅當時取等號．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線，直線與E交于A、B兩點，且，其中O為原點.
（1）求拋物線E的方程；
（2）點C坐標為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1:3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知的頂點在橢圓上，在直線上，且．
（1）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；
（2）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的焦點為，，且經(jīng)過點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過的直線與橢圓交于、兩點，問在橢圓上是否存在一點，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為,
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在以雙曲線C的實軸長為直徑的圓上，求m的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點，并求出該定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖已知橢圓的中點在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且過點，平行于的直線在y軸的截距為，且交橢圓與兩點，

（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍；（3）求證：直線、與x軸圍成一個等腰三角形，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若對于給定的負實數(shù)，函數(shù)的圖象上總存在點C，使得以C為圓心，1為半徑的圓上有兩上不同的點到原點的距離為2，則的取值范圍為        .

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