Question

（2011•普寧市模擬）已知：

OA

=(1，sinx-1)，

OB

=(sinx+sinxcosx，sinx)，f(x)=

OA

•

OB

．（x∈R）
求：（1）函數f（x）的最大值和最小正周期；
（2）函數f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先把

OA

，

OB

的坐標代入 f(x)=

OA

•

OB

，化簡，即可得到求函數f（x）的解析式，再根據三角函數的二倍角公式和兩角和與差的正弦公式將函數化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，最后利用三角函數的性質即可得到答案．
（2）由（1）得出f（x）的表達式，根據將2x-

π

4

看做一個整體，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z解出x的范圍即可得到答案．

解答：解：（1）f(x)=

OA

•

OB

=sinx+sinxcosx+sin2x-sinx…（2分）
=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

…（4分）∴x=kπ+

3π

8

(k∈Z)時，
f（x）取得最大值

1+ 2

2

，…（6分）
最小正周期為π．…（8分）
（2）當2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（10分）
即kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z時函數為增函數   …（11分）
∴原函數的遞增區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)．…（12分）

點評：本題借助向量的坐標運算，考查三角函數的單調區(qū)間和值域的問題．一般先將函數化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，再根據正弦函數的圖象和性質解題．