Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．且滿足a1=

1

2

，an=-2SnSn-1(n≥2)
（1）證明：數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列；
（2）求S_n及a_n．

Answer 1

分析：（1）利用條件求出{

1

Sn

}的通項公式，利用等差數(shù)列的定義證明：數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列；
（2）根據(jù){

1

Sn

}為等差數(shù)列，求S_n及a_n．

解答：解（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2(n≥2)，
∴{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=2為首項，2為公差的等差數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列，
∴

1

Sn

=2+2(n-1)=2n，
即Sn=

1

2n

．
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2

(

1

n

-

1

n-1

)=-

1

2n(n-1)

，
∴an=

1 2 - 1 2n(n-1)

(n=1) (n≥2)

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n與a_n之間的關(guān)系．考查學(xué)生的基本運算能力．