Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1 求出通項(xiàng)公式，再看n=1能否合并即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）先由（I）的結(jié)論求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n即可．
解答：解：（I）∵s_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=1適合上式
．∴a_n=2ⁿ-1．
（II）由（I）得b_n=（2n+1）a_n+2n+1=（2n+1）2ⁿ．
所以T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）2^n-1+（2n+1）2ⁿ，①
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹    ②．
①-②得-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=6+2×-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺¹-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）2ⁿ⁺¹．
所以T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹．
點(diǎn)評：本題的第二問考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．