【題目】已知位數(shù)滿足下列條件:①各個數(shù)字只能從集合中選;②若其中有數(shù)字4,則在4的前面不含2.將這樣的n位數(shù)的個數(shù)記為
(1)求;
(2)探究與之間的關(guān)系,求出數(shù)列的通項公式;
(3)對于每個正整數(shù),在與之間插入個得到一個新數(shù)列,設(shè)是數(shù)列的前項和,試探究能否成立?寫出你探究得到的結(jié)論并給出證明.
【答案】(1) , ;(2) ;(3)不能成立,證明過程見解析.
【解析】
(1)根據(jù)已知分類討論可以計算出的值;
(2)根據(jù)已知分類討論可以求出與之間的關(guān)系,通過恒等變形可以轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列,最后求出數(shù)列的通項公式;
(3)分別計算數(shù)列前6項,可得,即可得了結(jié)論.
(1) 時,若個位上數(shù)字是1,2,3時,十位上的數(shù)字有四種選擇方法;
當個位上數(shù)字是4時,十位上的數(shù)字中有三種選擇方法,因此;
時,若個位上數(shù)字是1,2,3時,每種情況下符合條件的數(shù)字都有種,
當個位上數(shù)字是4時,十位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都有三種選擇方法,因此
.
所以,;
(2)當n+1位數(shù)時,若個位上的數(shù)字是1,2,3時,每種情況下符合條件的數(shù)字都有種,當個位上數(shù)字是4時,其他數(shù)位上的數(shù)字都有三種選擇方法,因此
,變形為:,所以數(shù)列是以為首項, 為公差的等差數(shù)列,即;
(3)由通項公式可知:
,故不成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一個質(zhì)點在第一象限運動,第一秒鐘內(nèi)它由原點移動到,而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向運動,且每秒移動一個單位長度,那么2018秒后,這個質(zhì)點所處的位置的坐標是________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是,最小值是,則( )
A.與有關(guān),且與有關(guān)B.與有關(guān),但與無關(guān)
C.與無關(guān),且與無關(guān)D.與無關(guān),但與有關(guān)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若的值域為,求的值;
(Ⅱ)巳,是否存在這祥的實數(shù),使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點.若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)g(x)=-2x+3.
(1)當a=2時,求f(x)的極值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若-2≤a≤-1,對任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)-f(x2)|≤t|g(x1)-g(x2)|恒成立,求實數(shù)t的最小值.
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【題目】如圖,正三棱柱的所有棱長均為2,點、分別在棱、上移動,且,.
(1)若,求異面直線與所成角的余弦值;
(2)若二面角的大小為,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,欲在一四邊形花壇內(nèi)挖一個等腰三角形的水池,且,已知四邊形中,是等腰直角三角形,米,是等腰三角形,,的大小為,要求的三個頂點在花壇的邊緣上(即在四邊形的邊上),設(shè)點到水池底邊的距離為,水池的面積為平方米.
(1)求的長;
(2)試將表示成關(guān)于的函數(shù),并求出的最大值.
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