如圖,五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA面ABEF,且DA=1,AB//EF,
,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn).
(1)求證:PQ//平面BCE;
(2)求證:AM平面ADF;
(3)求二面角A-DF-E的余弦值.
(1) 證明:見解析;(2)見解析;(3).
解析試題分析:(1) 證明:連接AC,根據(jù)四邊形ABCD是矩形,Q是BD的中點(diǎn),從而Q為AC的中點(diǎn),又在中,P是AE的中點(diǎn),得到PQ//EC,即得證.
(2)通過(guò)確定,及
,得出四邊形
是平行四邊形.
進(jìn)一步得出S是直角三角形且
.
.
又由,及
,得到
.
(3)通過(guò)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)。以AM,AF,AD所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題,解答過(guò)程較為常規(guī),注意確定平面的法向量,研究其夾角的余弦得解.應(yīng)注意結(jié)合圖象,確定所求角余弦值的正負(fù).
試題解析:(1) 證明:連接AC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,Q是BD的中點(diǎn),所以,Q為AC的中點(diǎn),又在中,P是AE的中點(diǎn),所以PQ//EC,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/81/9/zmmbr.png" style="vertical-align:middle;" />.
(2)因?yàn)镸是EF的中點(diǎn),所以,,
又,所以,四邊形
是平行四邊形.
所以,,
又所以,
S是直角三角形且
.
.
又,所以,
,由
,
所以,.
(3)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)。以AM,AF,AD所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,0,0),D(0,0,1),M(2,0,0),F(xiàn)(0,2,0)
可得.
設(shè)平面DEF的法向量為,則
.
故令
,則
,
,所以,
是平面DEF的一個(gè)法向量.
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/3/dx4ux1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,S是平面
的一個(gè)法向量.
所以,.
由圖可知,所求二面角是銳二面角,所以二面角A-DF-E的余弦值是.
考點(diǎn):平行關(guān)系,垂直關(guān)系,二面角的計(jì)算,空間向量的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
棱長(zhǎng)為2的正方體中,E為
的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求異面直線AE與所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知、
、
為不在同一直線上的三點(diǎn),且
,
.
(1)求證:平面//平面
;
(2)若平面
,且
,
,
,求證:
平面
;
(3)在(2)的條件下,設(shè)點(diǎn)為
上的動(dòng)點(diǎn),求當(dāng)
取得最小值時(shí)
的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,正△ABC的邊長(zhǎng)為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)求棱錐E-DFC的體積;
(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,已知AB為圓O的直徑,點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),且,點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn),且
.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=DB.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱(側(cè)棱和底面垂直的棱柱)中,平面
側(cè)面
,
,
,且滿足
.
(1)求證:;
(2)求點(diǎn)的距離;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在平面四邊形ABCD中,已知,
,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD
平面BDC,設(shè)點(diǎn)F為棱AD的中點(diǎn).
(1)求證:DC平面ABC;
(2)求直線與平面ACD所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐E—ABCD中,底面ABCD為邊長(zhǎng)為5的正方形,AE平面CDE,AE=3.
(1)若為
的中點(diǎn),求證:
平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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