Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（1）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先去掉函數(shù)的絕對值，寫成分段函數(shù)，然后求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，對a進行討論分0＜a＜1時，1≤a≤2、、，借助函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分別求f（x）在[0，a]上的最大值．
解答：解：（1）f（x）=x|x-2|==
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1]和[2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是[1，2]．
（2）①當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在[0，a]上是增函數(shù)，
此時f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；             
②當(dāng)1≤a≤2時，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，a]上是減函數(shù)，
所以此時f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
③當(dāng)時，f（x）在[0，1]是增函數(shù)，在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，a]上是增函數(shù)，
而，
所以此時f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
④當(dāng)時，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，a]上是增函數(shù)，
而，
所以此時f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（a-2）
綜上所述，f（x）_max=．
點評：本題是中檔題，考查二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分類討論思想，計算能力．