Question

11．已知拋物線y²=2px（p＞0）上的點到焦點的距離的最小值為2，過點（0，1）的直線l與拋物線只有一個公共點，則焦點到直線l的距離為（　�。�

• A． 1或$\sqrt{2}$或2
• B． 1或2或$\sqrt{5}$
• C． 2或$\sqrt{2}$
• D． 2或$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 利用拋物線的頂點到焦點的距離最小，求出p，再分類討論求出切線方程，即可得出結論．

解答 解：因為拋物線y²=2px（p＞0）上的點到焦點的距離的最小值為2，
所以$\frac{p}{2}$=2，所以y²=8x．
①設直線l的斜率等于k，則當k=0時，直線l的方程為y=1，滿足直線與拋物線y²=8x僅有一個公共點，焦點到直線l的距離為1
當k≠0時，直線l是拋物線的切線，設直線l的方程為 y=kx+1，
代入拋物線的方程可得：k²x²+（2k-8）x+1=0，根據判別式等于0，求得 k=2，故切線方程為y=2x+1．焦點到直線l的距離為$\sqrt{5}$
②當斜率不存在時，直線方程為x=0，經過檢驗可得此時直線也與拋物線y²=8x相切．焦點到直線l的距離為2，
故選B．

點評 本題考查拋物線的方程與性質，考查學生的計算能力，解決此類問題的關鍵是熟練掌握只有一個公共點的概念，即直線與拋物線相切或者直線與拋物線的對稱軸平行．