Question

已知點(diǎn)F（0，1），直線l：y=-2．
（1）若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離比它到直線l的距離小1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）過(guò)軌跡E上一點(diǎn)P作圓C：x²+（y-3）²=1的切線，切點(diǎn)分別為A、B，求四邊形PACB的面積S的最小值和此時(shí)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直接代入距離公式來(lái)求動(dòng)點(diǎn)M軌跡E的方程即可（注意討論）．
（2）先利用圖象和已知條件把S轉(zhuǎn)化為求|AP|問(wèn)題，然后在△PAC中借助于點(diǎn)P在E上求出|AP|的最小值即可．

解答：解：（1）：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）．
由題設(shè)條件可知

x2+(y-1)2

-|y+2|=-1，即

x2+(y-1)2

=|y+2|-1
①當(dāng)y+2≥0時(shí)，即y≥-2時(shí)，有

x2+(y-1)2

=(y+2)-1
兩端平方并整理得 y=

1

4

x2
②當(dāng)y+2＜0即y＜-2時(shí)有

x2+(y-1)2

=-(y+2)-1
兩端平方并整理得 y=-

1

8

x2-1
∵x²＞0∴y=-

1

8

x2-1＞-1
這與y＜-2矛盾．
綜合①②知軌跡E的方程為 y=

1

4

x2
（2）連PC，不難發(fā)現(xiàn)S=S_△PAC+S_△PBC=2S_△PAC
∵CA⊥PA且|AC|=1∴S=2•

1

2

•|AP|•|AC|
即S=|AP||
設(shè)P（x₀，y₀）于是，|AP|²+|AC|²=|PC|²=x₀²+（y₀-3）²
即 |AP|=

4y0+ y 2 0 -6y0+8

．又

x

2 0

=4y0
∴|AP|2=

4y0+ y 2 0 -6y0+8

=

(y 0-1)2+7

≥

7

當(dāng)且僅當(dāng)y₀=1時(shí)“=”成立，此時(shí)x₀=±2
所以四邊形PACB存在最小值，最小值是

7

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)是（±2，1）

點(diǎn)評(píng)：本題以軌跡方程為載體，考查到求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程問(wèn)題．在做這一類型題時(shí)，關(guān)鍵是找到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)M的等式．