Question

已知點F（0，1），直線l：y=-2．
（1）若動點M到點F的距離比它到直線l的距離小1，求動點M的軌跡E的方程；
（2）過軌跡E上一點P作圓C：x²+（y-3）²=1的切線，切點分別為A、B，求四邊形PACB的面積S的最小值和此時P的坐標．

Answer 1

分析：（1）直接代入距離公式來求動點M軌跡E的方程即可（注意討論）．
（2）先利用圖象和已知條件把S轉化為求|AP|問題，然后在△PAC中借助于點P在E上求出|AP|的最小值即可．

解答：解：（1）：設動點M（x，y）．
由題設條件可知

x2+(y-1)2

-|y+2|=-1，即

x2+(y-1)2

=|y+2|-1
①當y+2≥0時，即y≥-2時，有

x2+(y-1)2

=(y+2)-1
兩端平方并整理得 y=

1

4

x2
②當y+2＜0即y＜-2時有

x2+(y-1)2

=-(y+2)-1
兩端平方并整理得 y=-

1

8

x2-1
∵x²＞0∴y=-

1

8

x2-1＞-1
這與y＜-2矛盾．
綜合①②知軌跡E的方程為 y=

1

4

x2
（2）連PC，不難發(fā)現(xiàn)S=S_△PAC+S_△PBC=2S_△PAC
∵CA⊥PA且|AC|=1∴S=2•

1

2

•|AP|•|AC|
即S=|AP||
設P（x₀，y₀）于是，|AP|²+|AC|²=|PC|²=x₀²+（y₀-3）²
即 |AP|=

4y0+ y 2 0 -6y0+8

．又

x

2 0

=4y0
∴|AP|2=

4y0+ y 2 0 -6y0+8

=

(y 0-1)2+7

≥

7

當且僅當y₀=1時“=”成立，此時x₀=±2
所以四邊形PACB存在最小值，最小值是

7

，此時P點坐標是（±2，1）

點評：本題以軌跡方程為載體，考查到求動點M的軌跡E的方程問題．在做這一類型題時，關鍵是找到關于動點M的等式．