Question

（2013•薊縣二模）橢圓的中心在坐標原點，其左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當直線l與x軸垂直時，

|CD|

|AB|

=2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求過點F₁、O（O為坐標原點），并且與直線x=-

a2

c

（其中a為長半軸長，c為橢圓的半焦距）相切的圓的方程；
（Ⅲ）求

F2A

•

F2B

=

1

2

時直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）易求焦點F₁（-1，0），設橢圓的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，解方程組

y2=-4x x=-1

得C、D坐標，由

|CD|

|AB|

=2

2

，可得點A坐標，代入橢圓方程聯(lián)立a²-b²=1可得b，a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求左準線方程，由題意可設M（-

1

2

，t），由圓與橢圓的左準線相切可求半徑，再由點O到M的距離為半徑可得t，從而得圓心坐標，進而可得圓的標準方程；
（Ⅲ）分兩種情況進行討論：①若AB垂直于x軸，易求

F2A

•

F2B

，可得結論；②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），聯(lián)立直線與橢圓方程并消掉y得x的二次方程，利用向量的數(shù)量積運算及韋達定理可用k表示出

F2A

•

F2B

，令其為

1

2

可求k值，從而可得直線方程；

解答：解：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點F₁（-1，0），
設橢圓的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
解方程組

y2=-4x x=-1

得C（-1，2），D（-1，-2）．
由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，
∴

|F1C|

|F1A|

=

|CD|

|AB|

=2

2

，|F1A|=

2

2

，∴A（-1，

2

2

）．
∴

1

a2

+

1

2b2

=1，又a²-b²=1，
所以，

1

b2+1

+

1

2b2

=1，解得b²=1并推得a²=2，
故橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）∵a=

2

，b=1，c=1，∴

a2

c

=2，
∵圓過點O、F₁，∴圓心M在直線x=-

1

2

上，
設M（-

1

2

，t），由于圓與橢圓的左準線相切，
則圓半徑r=|（-

1

2

）-（-2）|=

3

2

，
由|OM|=r，得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，解得t=±

2

，
∴所求圓的方程為(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

．
（Ⅲ） 由點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
①若AB垂直于x軸，則A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，
∴

F2A

=(-2，

2

2

)，

F2B

=(-2，-

2

2

)，

F2A

•

F2B

=4-

1

2

=

7

2

，與條件不符；
②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

得，（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
∵△=8k²+8＞0，∴方程有兩個不等的實數(shù)根．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

，
∴

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²
=(1+k2)•

2(k2-1)

1+2k2

+(k2-1)(-

4k2

1+2k2

)+1+k²
=

7k2-1

1+2k2

=

1

2

，解得k=±

1

2

，
所以直線l的方程為：y=±

1

2

(x+1)，即x-2y+1=0或x+2y+1=0．

點評：本題考查橢圓拋物線標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系及向量的數(shù)量積運算，本題運算量大，綜合性強，能力要求高．