Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x）．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若φ⊆{x∈R|f（x）≥k}，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，進而由對數(shù)的運算性質化簡函數(shù)的解析式，結合二次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調性和復合函數(shù)單調性“同增異減”的原則，可得答案．
（2）不等式f（x）≥k，即為log₂[-（x-1）²+4]≥k，即-（x-1）²+4≥2^k，結合二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，可得實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）由x+1＞0，且3-x＞0可得：函數(shù)f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x）的定義域為（-1，3），
∵函數(shù)f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x）=log₂[（x+1）•（3-x）]=log₂[-（x-1）²+4]，
當x∈（-1，1]時，u=-（x-1）²+4為增函數(shù)，且y=log₂u也為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）也為增函數(shù)，
即f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，1]；
（2）不等式f（x）≥k，即為log₂[-（x-1）²+4]≥k，
即-（x-1）²+4≥2^k，
∵當x∈（-1，3）時，-（x-1）²+4∈（0，4），
故4≥2^k，
解得：k≤2．

點評：本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質，復合函數(shù)的單調性，綜合性可，難度中檔．