Question

已知函數(shù)f（x）=2^2x-

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•2^x+1+a，當x∈[0，3]時，f（x）的最大值和最小是之和為

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．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若x∈[0，3]時，f（x）-m2^x+6≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用換元法求出元的范圍，通過二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值，求實數(shù)a的值；
（2）通過x∈[0，3]時，f（x）-m2^x+6≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為m的不等式，求出函數(shù)的最值即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（2^x）²-5•2^x+a，1≤x≤8，
令t=2^x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8    （2分）
所以有：h（t）=t²-5t+a=（t-

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）²+a-

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，（1≤t≤8）
所以：當t∈[1，

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]時，h（t）是減函數(shù)；當t∈(

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，8]時，h（t）是增函數(shù)；（4分）
∴f(x)min=h(

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)=a-

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，
f（x）_max=h（8）=a+24．
解得a=-6；（6分）
（2）由（1）得f(x)=22x-

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•2x+1-6f（x）+6-m2^x≥0恒成立．
即22x-

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•2x+1-m2x≥0恒成立2^x-5-m≥0恒成立，即m≤2^x-5恒成立，（9分）
x∈[0，3]時，2^x-5的最小值為-4
所以：m≤-4．（12分）

點評：本題考查換元法的應用，二次函數(shù)閉區(qū)間的最值，函數(shù)的恒成立的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．