Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E、G分別是BC、C₁D₁的中點(diǎn)
（1）求證：EG∥平面BDD₁B₁
（2）求E到平面BDD₁B₁的距離．

Answer 1

分析：（1）取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，D₁F，證明四邊形EFD₁G為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理，證明EG∥平面BB₁D₁D．
（2）由EG∥平面BDD₁B₁，則G到平面BDD₁B₁的距離，即為E到平面BDD₁B₁的距離．

解答：解：（1）取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，D₁F，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴EF為三角形BCD的中位線，
則EF∥DC，且EF=

1

2

CD，
∵G為C₁D₁的中點(diǎn)，
∴D₁G∥CD，且D₁G=

1

2

CD，
∴EF∥D₁C，且EF=D₁G，
∴四邊形EFD₁G為平行四邊形，
∴D₁F∥EG，而D₁F?平面BB₁D₁D，EG?平面BB₁D₁D，
∴EG∥平面BB₁D₁D．
（2）∵EG∥平面BDD₁B₁，則G到平面BDD₁B₁的距離，即為E到平面BDD₁B₁的距離．
∴過G作GN⊥B₁D₁ 于N，則GN⊥面BDD₁B₁，
∵G是C₁D₁的中點(diǎn)，
∴D₁G=

1

2

，
又sin45°=

GN

D1G

=

2

2

，
∴GN=

2

2

×

1

2

=

2

4

．
即E到平面BDD₁B₁的距離為

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面直線的判定，以及點(diǎn)到平面的距離，要求熟練掌握線面平行的判定定理和直線和平面平行的性質(zhì)．