已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，其左、右焦點為F1、F2，點P是坐標平面內(nèi)一點，且|OP|=
15
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
其中O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點S（-
6
5
，0），且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在x軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（1）設P（x0，y0），∵|OP|=
15
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
，
∴
x20
+
y20
=
15
2
(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=
3
4
，化為
x20
+
y20
=
15
4
x20
-c2+
y20
=
3
4
，
解得c=
3
．
又
e=
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
c=
3
，解得
a=2
b=1
．
∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1；
（2）存在定點M（-2，0），使以AB為直徑的圓恒過這個點．證明如下：
設點A（x1，y1），B（x2，y2）．
把直線l：y=k(x+
6
5
)代入橢圓方程
x2
4
+y2=1得(1+4k2)x2+
48
5
k2x+
144
25
k2-4=0，
∴x1+x2=-
48k2
5(1+4k2)
，x1x2=
144k2-100
25(1+4k2)
．
∴
MA
•
MB
=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）
=(x1+2)(x2+2)+k(x1+
6
5
)•k(x2+
6
5
)
=（1+k2）x1x2+(
6
5
k2+2)(x1+x2)+4+
36
25
k2
=(1+k2)•
144k2-100
25(1+4k2)
+(
6
5
k2+2)•
-48k2
5(1+4k2)
+4+
36
25
k2
=
(144k4+44k2-100)-(288k4+480k2)+(144k4+436k2+100)
25(1+4k2)

=0．
∴MA⊥MB．
即以AB為直徑的圓恒過這個定點M（-2，0）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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