Question

△ABC的外接圓的直徑為1，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊為a、b、c，，，已知．
（1）求sinA+sinB的取值范圍；
（2）若abx=a+b，試確定實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過推出acosA-bcosB=0，結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)此式，推出A，B的關(guān)系，然后求sinA+sinB的取值范圍；
（2）利用abx=a+b，結(jié)合正弦定理，推出x的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，試確定實(shí)數(shù)x的取值范圍．
解答：解：（1）∵，∴，∴acosA-bcosB=0．
由正弦定理知，，∴a=sinA，b=sinB．
∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B．
∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π．
∴A=B，．，，
∴．
∴sinA+sinB的取值范圍為．
（2）∵abx=a+b，∴sinA•sinB•x=sinA+sinB
∴．
令，
∴．
∵在單調(diào)遞增，∴，
∴，故x的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值，注意換元法的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性是求最值的一種方法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．