Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）²．
（Ⅰ）若f（x+1）為偶函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上有最小值9，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸方程列式，可得a的值為3；
（2）由于函數(shù)圖象關(guān)于x=

a

3

對(duì)稱，分三種情況討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別建立關(guān)于a的方程，解之即可得到符合題意的實(shí)數(shù)a之值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2x²+（x-a）²=3x²-2ax+a²
∵函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，∴二次函數(shù)函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1．----------（2分）
∴直線x=

a

3

即直線x=1，解之得a=3；-----------------（4分）
（Ⅱ）f（x）=2x²+（x-a）²=3x²-2ax+a²
函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

a

3

對(duì)稱
①當(dāng)

a

3

＜0即a＜0時(shí)，函數(shù)在[0，1]上為增函數(shù)，可得
最小值為fmin(x)=f(0)=a2=9，解之得a=-3------------（6分）
②當(dāng)0≤

a

3

≤1即0≤a≤1時(shí)，函數(shù)最小值為fmin(x)=f(

a

3

)=

2

3

a2=9，矛盾----------（8分）
③當(dāng)

a

3

＞1即a＞1時(shí)，函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，可得
最小值為fmin(x)=f(1)=3-2a+a2=9，解之得a=1+

7

（舍負(fù)）----------（10分）
綜上所述，滿足條件的a值為-3或a=1+

7

．--------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的一元二次方程，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程的解法等知識(shí)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．