Question

四棱錐O-ABCD中，OB⊥底面ABCD，且OB=

6

，底面ABCD是菱形；點(diǎn)B在平面OAD內(nèi)的射影G恰為△OAD的重心．
①求OA的長；
②求二面角B-OC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：①由題意及所給的圖形抓住底面ABCD是菱形，菱形的對角線互相垂直及題中所給的線面垂直和線段長度，可以建立空間直角坐標(biāo)系，寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，利進(jìn)向量的知識及設(shè)BH=x，AH=y，建立x，y的方程而求解；
②有①的求證利用向量求出兩半平面的法向量，利用兩法向量的夾角與所求的二面角的大小之間的關(guān)系進(jìn)行求解．．

解答：解：①由題意及題中的條件可以畫出以下圖形，并利用題中條件建立圖示的空間坐標(biāo)系：

設(shè)BH=x，AH=y和題中OB=

6

，有圖可得圖中的各個點(diǎn)的坐標(biāo)為：H（0，0，0） D（x，0，0） B（-x，0，0） A（0，y，0） C（0，-y，0） O（-x，0，

6

） M（0，0，

6

2

）
所以利用G為三角形的重心可以得：G（0，

y

3

，

6

3

），

BG

 =(x，

y

3

，

6

3

)，

OA

=(x，y，-

6)

，

AD

=(x，-y，0)，利用BG⊥平面OAD建立方程為：

GB • OA =0 BG • AD =0

?

x2+ y2 3 =2 x2- y2 3 =0

?

x=1 y= 3

所以有圖知AD=2，在直角三角形OBA中：OA=

6+4

=

10

，故OA=

10

；
②有①建立的空間坐標(biāo)系可知：

OC

=(1，-

3

，-

6

)

BC

=(x，-y，0)=(1，-

3

，0)     
 

DO

=(-2x，0，

6

)=(-2，0，

，6

)

CD

=(x，y，0)=(1，

3

，0)
設(shè)平面OBC的法向量為

n1

 =(x1，y1，z1)  則

x1- 3 y1=0 x1- 3 y1 - 6 z1=0

?

n1

=(

3

，1，0)
設(shè)平面OCD的法向量為

n2

=(x2，y2，z2) 則

-2x2+ 6 z2=0 x2+ 3 y2=0

?

n2

=(-

3

，1，-

2

)
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

- 3 × 3 +1×1+0

2× 6

=-

6

6

，
由法向量的夾角與二面角的夾角之間的關(guān)系知道：二面角B-OC-D的平面角的余弦值為

6

6

．
故答案為：OA=

10

，所求的二面角的平面角的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評：①此問重點(diǎn)考查了利用圖形特點(diǎn)及已知的條件恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，還考查了準(zhǔn)確利用條件寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的思想解除OA的長度；
②此問在上一問的基礎(chǔ)上，利用空間向量的夾角與二面角之間的關(guān)系準(zhǔn)確求解．