已知橢圓方程為，試確定m的范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線y=4x+m對稱．
【答案】分析：根據(jù)對稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分，從而可得直線AB的斜率k=-，直線AB與橢圓有兩個交點，且AB的中點M在直線y=4x+m，可設直線AB 的方程為y=，聯(lián)立方程整理可得13x2-8bx+16（b2-3）=0可求中點M，由△=64b2-4×13×16（b2-3）＞0可求b的范圍，由中點M在直線y=4x+m可得m，b 的關系，從而可求m的范圍
解答：解：設橢圓上關于直線y=4x+m對稱的點A（x1，y1），B（x2，y2），
則根據(jù)對稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分．
可得直線AB的斜率k=-，直線AB與橢圓有兩個交點，且AB的中點M（x，y）在直線y=4x+m，
故可設直線AB 的方程為y=，
整理可得13x2-8bx+16（b2-3）=0，
所以，，
由△=64b2-4×13×16（b2-3）＞0可得，
所以代入直線y=4x+m可得m=
所以，．
點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，解題的關鍵是靈活應用已知中的對稱性設出直線方程，且由中點在y=4x+m上建立m，b之間的關系，還要注意方程的根與系數(shù)的關系的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線
x2
2
-y2=1有公共焦點，且離心率為
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．A，B分別是橢圓C的左頂點和右頂點．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點．直線AS，BS分別與直線l：x=
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分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）延長MB交橢圓C于點P，若PS⊥AM，試證明MS2=MB•MP．
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在點T，使得△TSB的面積為
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？若存在確定點T的個數(shù)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為F1(-
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，0)，F2(
3
，0)，離心率是
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．橢圓C的左，右頂點分別記為A，B．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x=-
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分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：△TSA的面積為
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．試確定點T的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為F1(-
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，0)，F2(
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，0)，離心率是
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．橢圓C的左，右頂點分別記為A，B．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x=-
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分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于
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，試確定點T的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年北京市順義區(qū)高三第二學期第二次模擬數(shù)學試題 題型：解答題

已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為,離心率是。橢圓C的左，右頂點分別記為A,B。點S是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點。

（1）       求橢圓C的方程；

（2）       求線段MN長度的最小值；

（3）       當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于.

試確定點T的個數(shù)。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖南師大附中高二（上）期中數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：與雙曲線-y2=1有公共焦點，且離心率為．A，B分別是橢圓C的左頂點和右頂點．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點．直線AS，BS分別與直線l：x=分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）延長MB交橢圓C于點P，若PS⊥AM，試證明MS2=MB•MP．
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在點T，使得△TSB的面積為？若存在確定點T的個數(shù)，若不存在，說明理由．

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