Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，點M、N分別是B₁C₁和A₁B₁的中點，AA₁=AB=BM=2，∠A₁AB=60°．
（Ⅰ）求證：BN⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB-M的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BN⊥平面A₁B₁C₁，只需證明BN⊥A₁B₁，BN⊥MN，
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，求出平面ABA₁的一個法向量、平面MAB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A₁-AB-M的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接MN，A₁B，
∵側(cè)面是ABB₁A₁菱形，且∠A₁AB=60°，
∴△A₁BB₁為正三角形．
∵N是A₁B₁的中點，
∴BN⊥A₁B₁，
∵AA₁=AB=BM=2，
∴BN=

3

，MN=1，
∴BN²+MN²=BM²，
∴BN⊥MN，
∵A₁B₁∩MN=N，
∴BN⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）解：取AB的中點E，連接A₁E，則A₁E∥BN，由（Ⅰ）知A₁E⊥平面ABC，
以E為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則E（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0），A（0，0，

3

），B₁（2，0，

3

），
設(shè)M（x，y，z），由

B1M

=

1

2

BC

得x=

3

2

，y=

3

2

，z=

3

，
∴M（

3

2

，

3

2

，

3

），
∴

EM

=（

3

2

，

3

2

，

3

），

BM

=（

1

2

，

3

2

，

3

），
平面ABA₁的一個法向量為

n1

=（0，1，0）．
設(shè)平面MAB的法向量

n2

=（x，y，z），則

3 2 x+ 3 2 y+ 3 z=0 1 2 x+ 3 2 y+ 3 z=0

，
∴

n2

=（0，-2，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2 5

5

，
∴二面角A₁-AB-M的余弦值為

2 5

5

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量法的運用，考查學(xué)生的計算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．