Question

已知函數(shù)f（x）=（ex+1）（lnx-1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若點P（e，f（e）），且點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））滿足條件：（1-lnx₁）（1-lnx₂）=1（x₁≠x₂）．判斷A，B，P三點是否可以構(gòu)成直角∠APB？請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）易求k=f′（1）=1，又f（1）=-（e+1），利用直線的點斜式方程即可求得曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）f′（x）=

exlnx+1

x

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=exlnx+1（x＞0），利用導數(shù)可求得x＞0時，g（x）≥0，即f′（x）≥0恒成立，可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）分析知，點A，B不與P重合，利用向量的數(shù)量積可求得

PA

•

PB

=（e²+1）（x₁x₂+1）＞0，可知點A，B，P三點構(gòu)成銳角∠APB，而不能構(gòu)成直角三角形．

解答： 解：（I）f（x）=（ex+1）（lnx-1），f′（x）=e（lnx-1）+

ex+1

x

=elnx+

1

x

=

exlnx+1

x

…1分
f′（1）=1，又f（1）=-（e+1），
所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為：y+（e+1）=x-1，即x-y-e-2=0…3分
（Ⅱ）由（I）令g（x）=exlnx+1（x＞0），
則g′（x）=e（lnx+1），令g′（x）=0，得x=

1

e

…5分
當0＜x＜

1

e

時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；當x＞

1

e

時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
故x＞0時，g（x）≥0，即f′（x）≥0恒成立．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
（Ⅲ）若x₁=e，則（1-lnx₁）（1-lnx₂）=0，與條件（1-lnx₁）（1-lnx₂）=1不符，
從而x₁≠e，同理可得x₂≠e．
由上可得點A，B不與P重合…10分

PA

•

PB

=（x₁-e，f（x₁））•（x₂-e，f（x₂））
=（x₁-e）（x₂-e）+（ex₁+1）（ex₂+1）（lnx₁-1）（lnx₂-1）
=（e²+1）（x₁x₂+1）…13分
因為x₁，x₂＞0，
所以

PA

•

PB

＞0，
故點A，B，P三點構(gòu)成銳角∠APB，所以點A，B，P三點不能構(gòu)成直角∠APB，…14分

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上一點的切線方程，著重考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)思想與綜合運算能力，考查轉(zhuǎn)化思想．