【題目】平面上有12個(gè)點(diǎn)且任意三點(diǎn)不共線.以其中任意一點(diǎn)為始點(diǎn)、另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量且作出所有的向量，其中，三邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這12個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的零三角形個(gè)數(shù)的最大值.

【答案】70

【解析】

設(shè)這12個(gè)點(diǎn)分別為.這12個(gè)點(diǎn)確定的三角形共有個(gè)，設(shè)以為始點(diǎn)的向量數(shù)為.

若以某三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為非零三角形，則有且僅有一個(gè)點(diǎn)是此三角形兩邊向量的始點(diǎn)，所以，以為頂點(diǎn)之一且為兩邊始點(diǎn)的非零三角形有個(gè).從而，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中非零三角形的總數(shù)為.

因此，零三角形的個(gè)數(shù)為.

先求的最小值.

因?yàn)?/span>，所以，.

而非負(fù)整數(shù)不超過(guò)11，故有最小值.

由調(diào)整法知，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，取最小值366.

故的最小值為.

因此，以這12個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的零三角形個(gè)數(shù)的最大值為70.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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