Question

根據(jù)下列條件，判斷三角形的形狀
（1）tanAtanB=1
（2）tanAtanB＞1．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷,三角函數(shù)值的符號(hào),兩角和與差的正切函數(shù)

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）利用已知條件，通過(guò)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和的余弦函數(shù)求解即可，
（2）利用兩角和的正切函數(shù)公式表示出tan（A+B），根據(jù)A與B的范圍以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A與B都為銳角，然后判斷出tan（A+B）小于0，得到A+B為鈍角即C為銳角，所以得到此三角形為銳角三角形．

解答： 解：（1）tanAtanB=1
可得cosAcosB-sinAsinB=0，cos（A+B）=0．∴A+B=

π

2

，C=

π

2

，
三角形是直角三角形．
（2）因?yàn)锳和B都為三角形中的內(nèi)角，
由tanAtanB＞1，得到1-tanAtanB＜0，
且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B為銳角，
所以tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

＜0，
則A+B∈（

π

2

，π），即C都為銳角，
所以△ABC是銳角三角形．
故答案為：銳角三角形

點(diǎn)評(píng)：（1）考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角形的形狀的判斷；（2）此題考查了三角形的形狀判斷，用的知識(shí)有兩角和與差的正切函數(shù)公式．解本題的思路是：根據(jù)tanAtanB＞1和A與B都為三角形的內(nèi)角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都為銳角，進(jìn)而根據(jù)兩角和與差的正切函數(shù)公式得到tan（A+B）的值為負(fù)數(shù)，進(jìn)而得到A+B的范圍，判斷出C也為銳角．