Question

（本小題滿分16分）

已知（，為此函數(shù)的定義域）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①函數(shù)

在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間，使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013022710024918225289/SYS201302271003247447518695_ST.files/image006.png">，那么稱，為閉函數(shù)。請(qǐng)解答以下問題：

（1）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；

（2）求證：函數(shù)（）為閉函數(shù)；

（3）若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)；

(2) 見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意，不成立。

（2）利用高次函數(shù)來分析，利用單調(diào)性的定義分析和證明。

（3）易知是上的增函數(shù)，符合條件①；設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間

為，利用對(duì)應(yīng)相等得到結(jié)論。

解：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；---2分

所以，函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)---4分

(2) 先證符合條件①：對(duì)于任意

且，有        

，       ，故是上的減函數(shù)．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013022710024918225289/SYS201302271003247447518695_DA.files/image008.png">在上的值域是。                     ---------8分

    （3）易知是上的增函數(shù)，符合條件①；設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間

為，則；故是的兩個(gè)不等根，即方程組為：

    有兩個(gè)不等非負(fù)實(shí)根；         - -- --- ------11分

    設(shè)為方程的二根，則  ，

    解得： 的取值范圍．            --- --- ---16分

考點(diǎn)：本題主要是考查新定義的理解和運(yùn)用，確定是否為閉函數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是理解概念，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的某個(gè)區(qū)間，是否滿足定義域和值域相同得到結(jié)論。