Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a²lnx-4x，g（x）=bx²（a≠0，b≠0，a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)b=

3

2

時，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在x=1處有極小值，求函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）和g（x）有相同的極大值，且函數(shù)p(x)=f(x)+

g(x)

x

在區(qū)間[1，e²]上的最大值為-8e，求實數(shù)b的值（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)b=

3

2

時，根據(jù)h（x）的解析式求得h′（x），再由h'（1）=0，求得a²的值，從而確定h′（x），再由h′（x）＞0，求得函數(shù)h（x）的增區(qū)間．
（2）根據(jù)g（x）=bx²有極大值，可得b＜0且（g（x））_極大值=0．利用導(dǎo)數(shù)求的 (f(x))極大值=f(

a2

4

)=a2ln

a2

4

-a2=0，可得 a²=4e，從而得到 p（x）=
4elnx-4x+bx，p′(x)=

4e

x

-4+b=0 ⇒ x=

4e

4-b

＜e．再分當(dāng)

4e

4-b

≤1、當(dāng)1＜

4e

4-b

＜e 兩種情況，依據(jù)p（x）在區(qū)間[1，e²]上的最大值為-8e，求實數(shù)b的值．

解答：解：（1）當(dāng)b=

3

2

時，∵h(x)=a2lnx-4x+

3

2

x2⇒h′(x)=

a2

x

-4+3x，由題意可得h'（1）=0，∴a²=1，
∴h′(x)=

1

x

-4+3x=

(3x-1)(x-1)

x

(x＞0)．
∴當(dāng)x∈(0，

1

3

)時，h'（x）＞0⇒h（x）遞增； 當(dāng)x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0⇒h（x）遞增，
∴h（x）的遞增區(qū)間為(0，

1

3

)、（1，+∞）．
（2）g（x）=bx²有極大值，則b＜0，且（g（x））_極大值=0．
∵f（x）=a²lnx-4x，f′(x)=

a2-4x

x

，
當(dāng)x∈(0，

a2

4

)時，f'（x）＞0，當(dāng)x∈(

a2

4

，+∞)時，f'（x）＜0，
∴(f(x))極大值=f(

a2

4

)=a2ln

a2

4

-a2=0，∴

a2

4

=e，∴a²=4e，
∴p(x)=f(x)+

g(x)

x

=4elnx-4x+bx，令 p′(x)=

4e

x

-4+b=0 ⇒ x=

4e

4-b

＜e．
（i） 當(dāng)

4e

4-b

≤1，即b≤4-4e時，由p'（x）≤0⇒p（x）遞減，∴（p（x））_max=p（1）=-4+b=-8e，∴b=4-8e＜4-4e，符合題意．
（ii） 當(dāng)1＜

4e

4-b

＜e，即4-4e＜b＜0時，
當(dāng)x∈[1，

4e

4-b

)時，p'（x）＞0⇒p（x）遞增，當(dāng)x∈(

4e

4-b

，e)時，p'（x）＜0⇒p（x）遞減，
∴(p(x))max=p(

4e

4-b

)=4e•ln

4e

4-b

-4•

4e

4-b

+b•

4e

4-b

=-8e，花間得 ln

4e

4-b

-

4

4-b

+

b

4-b

=-2，即 ln

4e

4-b

=-1，即

4e

4-b

=

1

e

，
求得 b=4-4e²＜4-4e，不符合題意，舍去．
綜上所述，b=4-8e．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值，屬于中檔題．