Question

已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，求sin（2α+

π

3

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：先對(duì)6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0進(jìn)行因式分解得到sinα、cosα的關(guān)系，再根據(jù)α的范圍求出tanα的值，將sin（2α+

π

3

）用兩角和與差的正弦公式展開后再利用二倍角公式整理，將tanα的值代入和得到最后答案．

解答： 解：由已知得：（3sinα+2cosα）（2sinα-cosα）=0?3sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0
由已知條件可知cosα≠0，所以α≠

π

2

，
∴tanα=-

2

3

，或tanα=

1

2

．
sin（2α+

π

3

）=sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=sinαcosα+

3

2

（cos²α-sin²α）
=

sinαcosα

cos2α+sin2α

+

3

2

×

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

tanα

1+tan2α

+

3

2

×

1-tan2α

1+tan2α

將tanα=-

2

3

代入上式得：
sin（2α+

π

3

）=-

- 2 3

1+(- 2 3 )2

+

3

2

×

1-(- 2 3 )2

1+(- 2 3 )2

=-

6

13

+

5 3

26

．
將tanα=

1

2

代入上式得：
sin（2α+

π

3

）=

1 2

1+ 1 4

+

3

2

×

1- 1 4

1+ 1 4

=

4+3 3

10

．
故sin（2α+

π

3

）的值為：-

6

13

+

5 3

26

或

4+3 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的基本公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能，屬于中檔題．