Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0））的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f（c）=0，且0＜x＜c時(shí)，f（x）＞0
（1）證明：

1

a

是f（x）=0的一個(gè)根
（2）試比較

1

a

與c的大小
（3）證明：-2＜b＜-1．

Answer 1

分析：（1）由題意得c、

1

a

是方程f（x）=0的兩個(gè)根，
（2）欲比較

1

a

與c的大小，利用反證法去證明

1

a

＜c不可能，從而得到

1

a

＞c；
（3）由（1）（2）知，函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（c，0），（

1

a

，0），結(jié)合圖象得：對(duì)稱軸在x=c與x=

1

a

之間，從而得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足 x1x2=

c

a

，
又f（c）=0，不妨設(shè)x₁=c∴x2=

1

a

，即

1

a

是f(x)=0的一個(gè)根．
（2）假設(shè)

1

a

＜c，又

1

a

＞0
由0＜x＜c時(shí)，f（x）＞0，得 f(

1

a

)＞0，與f(

1

a

)=0矛盾∴

1

a

≥c
∵f（x）=0的兩個(gè)根不相等
∴

1

a

≠c，只有

1

a

＞c
（3）由（1）（2）知，函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（c，0），（

1

a

，0），
∴對(duì)稱軸在x=c與x=

1

a

之間，即c＜-

b

2a

＜

1

a

，
即-2ac＞b＞-2，
從而：-2＜b＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明，有些不等式無法利用用題設(shè)的已知條件直接證明，我們可以間接的方法--反證法去證明，即通過否定原結(jié)論---導(dǎo)出矛盾---從而達(dá)到肯定原結(jié)論的目的．