Question

數(shù)列{a_n}是遞增的等差數(shù)列，且a₁+a₆=-6，a₃•a₄=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n的最小值；
（3）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，解方程組

a1+a6=-6 a3•a4=8

?

a3+a4=-6 a3•a4=8

可得a₃=-4，a₄=-2，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知，a_n=2n-10，于是可得S_n=(n-

9

2

)2-

81

4

，繼而可得S_n的最小值；
（3）由a_n≥0解得n≥5，分1≤n≤5與n≥6討論，可分別求得數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由

a1+a6=-6 a3•a4=8

得：

a3+a4=-6 a3•a4=8

，
∴a₃、a₄是方程x²+6x+8=0的二個根，
∴x₁=-2，x₂=-4；
∵等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
∴a₃=-4，a₄=-2，
∴公差d=2，a₁=-8．
∴a_n=2n-10；
（2）∵S_n=

n(a1+an)

2

=n²-9n=(n-

9

2

)2-

81

4

，
∴（S_n）_min=S₄=S₅=-20；
（3）由a_n≥0得2n-10≥0，解得n≥5，此數(shù)列前四項為負的，第五項為0，從第六項開始為正的．
當1≤n≤5且n∈N^*時，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-（a₁+a₂+…+a_n）
=-S_n
=-n²+9n；
當n≥6且n∈N^*時，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₅|+|a₆|+…+|a_n|
=-（a₁+a₂+…+a₅）+（a₆+…+a_n）
=S_n-2S₅
=n²-9n-2（25-45）
=n²-9n+40．
∴T_n=

9n-n2，1≤n≤5，n∈N* n2-9n+40，n≥6，n∈N*

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的求和，突出方程思想與分類討論思想的綜合運用，屬于中檔題．