Question

19．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），過F₁作與x軸不重合的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ABF₁為正三角形，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 由橢圓可知c=1，由△ABF₂是正三角形，得a=$\sqrt{3}$，代入離心率公式得答案．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴2c=2，c=1，
由△ABF₂為正三角形，可得△BF₁F₂為直角三角形，
設(shè)BF₁=x，則BF₂=2x，
∴4x²=x²+4，即x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴2a=$2\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，對于橢圓對稱性的理解是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．