Question

已知橢圓C的兩焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），并且經過點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1，證明當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一由橢圓的定義知2a=|MF₁|+|MF₂|=4，得到a=2，又c=1根據a，b，c的關系b²=a²-c²=3故得到，進而可得答案；
解法二利用待定系數法設橢圓方程為，將M點的坐標代入得又a²=b²+1所以可得a²=4，b²=3，進而可得答案；
（2）點P在橢圓上即所以，所以圓心到直線的距離小于半徑r，所以直線l與圓O相交．所以弦長l==又0≤m²≤4所以．
解答：解：（1）解法一：設橢圓C的標準方程為，
由橢圓的定義知：
得
故C的方程為．
解法二：設橢圓C的標準方程為，
依題意，a²=b²+1①，將點坐標代入得②
由①②解得a²=4，b²=3，故C的方程為．
（2）因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以，則，
從而圓心O到直線l：mx+ny=1的距離，
所以直線l與圓O相交．
直線l被圓O所截的弦長為=
∵，∴．
點評：解決此類問題關鍵是熟練掌握橢圓中的相關數值，靈活運用定義，待定系數等方法解決相關問題，利用直線與圓的位置關系求弦長的范圍．