Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）與直線y=kx+

p

2

交于A、B兩點，O為坐標原點．
（I）當(dāng)k=1時，求線段AB的長；
（II）當(dāng)k在R內(nèi)變化時，求線段AB中點C的軌跡方程；
（III）設(shè)l是該拋物線的準線．對于任意實數(shù)k，l上是否存在點D，使得

AD

•

BD

=0？如果存在，求出點D的坐標；如不存在，說明理由．

Answer 1

分析：將知拋物線x²=2py（p＞0）與直線y=kx+

p

2

聯(lián)立．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時，代入可求AB=4p；
（Ⅱ）設(shè)線段AB中點C的坐標為（x，y），則當(dāng)k變化時，

x=pk y=pk2+ p 2

，消去k，可得點C的軌跡方程．    　　　　　　　　　　　　　　　　　  
（Ⅲ）假設(shè)在l上存在一點D(x0，-

p

2

)，使

AD

•

BD

=0，結(jié)合x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，y₁+y₂=2pk²+p，y1y2=

1

4

p2，可知對于任意實數(shù)k，在l上存在點D(pk，-

p

2

)，使得

AD

•

BD

=0．

解答：解：設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得

x2=2py y=kx+ p 2

，∴x²-2pkx-p²=0，∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，∴y₁+y₂=2pk²+p，y1y2=

1

4

 p2
（Ⅰ）當(dāng)k=1時，x1+x2=2p，x1x2=-p2，y1+y2=3p， y1y2=

1

4

p2，∴AB=4p
（Ⅱ）設(shè)線段AB中點C的坐標為（x，y），則當(dāng)k變化時，

x=pk y=pk2+ p 2

，消去k，得x2=py-

p2

2

．
即點C的軌跡方程為x2=py-

p2

2

．    　　　　　　　　　　　　　　　　　  
（Ⅲ）拋物線x²=2py（p＞0）的準線l的方程為y=-

p

2

假設(shè)在l上存在一點D(x0，-

p

2

)，使

AD

•

BD

=0，則有

x

2 0

 -(x1+x2)x0+x1x2+

1

4

p2+(y1+y2)

p

2

+y1y2=0　　　�、�
將x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，y₁+y₂=2pk²+p，y1y2=

1

4

p2，代入①式，整理得（x₀-pk）²=0，∴x₀=pk．
∴對于任意實數(shù)k，在l上存在點D(pk，-

p

2

)，使得

AD

•

BD

=0．

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查軌跡問題，同時考查存在性問題，有一定的難度．