Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=

1

3

，S_n=n（2n-1）a_n （n∈N*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，得到關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，即可求得此數(shù)列的前幾項(xiàng)．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，有a_k=

1

(2k-1)(2k+1)

，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答：解：（1）∵S_n=n（2n-1）a_n，且a₁=

1

3

∴當(dāng)n=2時(shí)，S₂=a₁+a₂=2（4-1）a₂，解得：a₂=

1

15

；
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=a₁+a₂+a₃=3（6-1）a₃，解得：a₃=

1

35

（2）由 （1）可以猜想{a_n}的通項(xiàng)為a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，由條件知等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1且k∈N^*）等式成立，
即：a_k=

1

(2k-1)(2k+1)

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件S_n=n（2n-1）a_n 有：
S_k=k（2k-1）a_k=k（2k-1）； 

1

(2k-1)(2k+1)

=

k

2k+1

，
∴S_k+1-S_k=a_k+1=（k+1）（2k+1）-

k

2k+1

，即
k（2k+3）a_k+1=

k

2k+1

，∴a_k+1=

1

(2k+1)(2k+3)

，
即：當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．
由①②可知，命題對(duì)一切n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法，第（1）問要注意遞推公式的靈活運(yùn)用，第（2）問要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．