Question

若實數(shù)a、b、c滿足（b+a²-3lna）²+（c-d+4）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由題設條b+a²-3lna=0，設b=y，a=x，得到y(tǒng)=3lnx-x²；c-d+4=0，設c=x，d=y，得到y(tǒng)=x+4，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=3lnx-x²與直線y=x+4之間的最小距離的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答： 解：∵實數(shù)a、b、c、d滿足：
（b+a²-3lna）²+（c-d+4）²=0，
∴b+a²-3lna=0，設b=y，a=x，
則有：y=3lnx-x²
c-d+4=0，設c=x，d=y，則有：y=x+4，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲線
y=3lnx-x²與直線y=x+4之間的最小距離的平方值
對曲線y=3lnx-x²求導：
y'（x）=

3

x

-2x，
與y=x+4平行的切線斜率k=1=

3

x

-2x，
解得：x=1或x=-

3

2

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切點為（1，-1）
切點到直線y=x+4的距離：
L=

|1+1+4|

2

=

6

2

，
即L²=18，（a-c）²+（b-d）²的最小值就是18．
故答案為：18．

點評：本題考查對數(shù)運算法則的應用，是中檔題，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．