Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（

1

2

，cos²θ）在角α的終邊上，點(diǎn)Q（sin²θ，-1）在角β的終邊上，且

OP

•

OQ

=-

1

2

．
（1）求cos2θ；
（2）求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)即

OP

、

OQ

坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式得θ的三角函數(shù)等式，再利用余弦的倍角公式把此等式降冪即可；
（2）首先由余弦的倍角公式求出cos²θ，再根據(jù)同角正余弦的關(guān)系式求出sin²θ，即明確點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后由三角函數(shù)定義得sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，最后利用正弦的和角公式求得答案．

解答：解：（1）∵

OP

•

OQ

=-

1

2

，
∴

1

2

sin2θ-cos2θ=-

1

2

，
∴

1-cos2θ

4

-

1+cos2θ

2

=-

1

2

，
∴cos2θ=

1

3

．
（2）由（1）得：cos2θ=

1+cos2θ

2

=

2

3

，
∴P(

1

2

，

2

3

)，sin2θ=

1-cos2θ

2

=

1

3

，
∴Q(

1

3

，-1)，
∴sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，sinβ=-

3 10

10

，cosβ=

10

10

，
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-

10

10

．

點(diǎn)評：本題綜合考查倍角公式、和角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、及三角函數(shù)定義，同時考查向量坐標(biāo)的定義及向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算．