Question

（2011•焦作一模）已知函數(shù)f（x）=ax²-x-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a=1時，證明：（x-1）（x²lnx-f（x））≥0．

Answer 1

分析：（I）利用導數(shù)的運算法則得出f′（x），通過對a分類討論，利用一元二次方程與一元二次不等式的關系即可判斷出其單調(diào)性；
（II）利用（I）可得：f（x）≥0，即x+lnx-x²≤0，分當0＜x≤1時，x²lnx-f（x）≤0，所以（x-1）（x²lnx-f（x））≥0，
當x＞1時，x2lnx-f(x)=lnx+x2(lnx+

1

x

-1)，令φ（x）=lnx+

1

x

-1，利用其導數(shù)可得φ（x）＞0，即可得出（x-1）（x²lnx-f（x））＞0．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=

2ax2-x-1

x

令g（x）=2ax²-x-1，x∈（0，+∞）
（1）當a≤0時，g（x）＜0，此時f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（2）當a＞0時，方程2ax²-x-1=0有兩根x1=

1+ 1+8a

4a

，x2=

1- 1+8a

4a

，
且x₁＞0，x₂＜0，此時當x∈(0，

1+ 1+8a

4a)

）時，f'（x）＜0，
當x∈(

1+ 1+8a

4a

，+∞)時，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，

1+ 1+8a

4a

）為減函數(shù)，在（

1+ 1+8a

4a

，+∞）為增函數(shù)；
所以當a≤0時，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（0，+∞），
當a＞0時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（

1+ 1+8a

4a

，+∞），遞減區(qū)間為（0，

1+ 1+8a

4a

）．
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=x²-x-lnx，x²lnx-f（x）=x²lnx+x+lnx-x²，
由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）為減函數(shù)，在（1，+∞）為增函數(shù)，
所以f（1）=0為f（x）的最小值，即f（x）≥0，所以x+lnx-x²≤0，
故當0＜x≤1時，x²lnx-f（x）≤0，所以（x-1）（x²lnx-f（x））≥0，
當x＞1時，x2lnx-f(x)=lnx+x2(lnx+

1

x

-1)，
令φ（x）=lnx+

1

x

-1，則
φ'（x）=

1

x

-

1

x2

＞0，所以φ（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，可得出φ（x）＞0，
又因lnx＞0，x²＞0，所以lnx+x2(lnx+

1

x

-1)＞0，
故當x＞1時，（x-1）（x²lnx-f（x））＞0，
綜上所述，當a=1時，（x-1）（x²lnx-f（x））≥0．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．