Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n，滿足a_n+S_n=n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（2-n）•（a_n-1），求數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)的值．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列前n項(xiàng)和S_n與a_n的關(guān)系式，結(jié)合題中等式化簡(jiǎn)得2a_n=a_n-1+1（n≥2），再配方得到

an-1

an-1-1

=

1

2

，可得{a_n-1}為公比為

1

2

的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可算出通項(xiàng)a_n；
（2）根據(jù)題意，得bn=(n-2)•

1

2n

，利用作差研究得到b_n+1-b_n=

1

2n+1

（3-n），因此可得當(dāng)n≤3時(shí)數(shù)列{b_n}遞增，而當(dāng)n≥4時(shí)數(shù)列{b_n}遞減，進(jìn)而得到數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)為b₃=b₃=

1

8

．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得S_n=n-a_n，所以S_n-1=n-1-a_{n-（　�。�1}，
兩式相減得S_n-S_n-1=1+a_n-1-a_n，
整理，得2a_n=a_n-1+1，（n≥2）
配方得：2（a_n-1）=a_n-1-1
∴

an-1

an-1-1

=

1

2

，可得{a_n-1}為公比為

1

2

的等比數(shù)列
由已知式可得a₁+s₁=1，得a1=

1

2

∴a1-1=-

1

2

，可得an-1=(-

1

2

)(

1

2

)n-1=-

1

2n

，
n=1時(shí)也符合
因此，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=1-

1

2n

…（7分）
（Ⅱ）bn=(2-n)(an-1)=(n-2)•

1

2n

可得bn+1-bn=(n-1)•

1

2n+1

-(n-2)•

1

2n

=

1

2n+1

（3-n）
∴當(dāng)n=1，2時(shí)，b_n+1-b_n≥0；當(dāng)n=3時(shí)，b_n+1-b_n=0；當(dāng)n≥4時(shí)，b_n+1-b_n＜0
∴當(dāng)n=3或4時(shí)，b_n達(dá)到最大值．即數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)為b₃=b₃=

1

8

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出數(shù)列中S_n與a_n的關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式并討論另一個(gè)數(shù)列的最值，著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．