已知橢圓x2+by2=3a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點
（1）當(dāng)a=
1
4
時，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)|AB|=2
2
時，AB的中點M與橢圓中心連線的斜率為
1
5
時，求橢圓的方程．
（1）解
x2+by2=3a
x+y-1=0
  得x2+b(1-x)2=3a
∴x2（1+b）-2bx+b-3a=0
由題意得：△=4b2-4（1+b）（b-3a）＞0
解得b＜3
又因為b＞0且b≠1
∴0＜b＜3且b≠1

（2）設(shè)A（x1，y1） B（x2，y2） 由（1）x1+x2=
2b
1+b
，  x1x2=
b-3a
1+b

∴|AB|=
1+1
，   
4b2
(1+b)2
-4×
b-3a
1+b
=2
2

整理得：b2+3b-3a-3ab+1=0，
y1+y2=2-(x1+x2)=2-
2b
1+b
=
2
1+b

AB中點M(
b
1+b
，  
1
1+b
)
由題意得：KOM=
1
1+b
b
1+b
=
1
5
∴b=5
∴a=
41
18

所求橢圓方程為x2+5y2=
41
6
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓x2+by2=3a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點
（1）當(dāng)a=
1
4
時，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)|AB|=2
2
時，AB的中點M與橢圓中心連線的斜率為
1
5
時，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），橢圓上的點到下焦點距離的最大值、最小值分別為2+
3
，2-
3
，向量
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），且
m
⊥
n
，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）判斷△AOB的面積是否為定值，如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺一模）直線l與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，已知
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），若
m
⊥
n
且橢圓的離心率e=
3
2
，又橢圓經(jīng)過點(
3
2
，1)，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007-2008學(xué)年山東省德州市高二期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓x2+by2=3a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點
（1）當(dāng)時，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)時，AB的中點M與橢圓中心連線的斜率為時，求橢圓的方程．

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