Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+2x）+ax（a＜0）
（1）若f（x）在x=0處取極值，求a的值，
（2）討論f（x）的單調(diào)性，
（3）證明（1+

1

3

）（1+

1

9

）…（1+

1

3n

）＜

e

，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=

2

1+2x

+a，f′（0）=2+a=0，由此能求出a的值．
（2）由f′(x)=

2

1+2x

+a=

2ax+2+a

1+2x

，根據(jù)a的范圍利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)性．
（3）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（-

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減，從而得到ln（1+2x）＜2x，由此利用對(duì)數(shù)性質(zhì)能證明（1+

1

3

）（1+

1

9

）…（1+

1

3n

）＜

e

．

解答： （1）解：∵f（x）=ln（1+2x）+ax（a＜0）
∴f′(x)=

2

1+2x

+a，
∵f（x）在x=0處取極值，
∴f′（0）=2+a=0，解得a=-2，
驗(yàn)證知a=-2符合條件，∴a=-2．
（2）解：f′(x)=

2

1+2x

+a=

2ax+2+a

1+2x

，
若

a＜0 2+a≤0

，當(dāng)a≤-2時(shí)，f′（x）≤0對(duì)x∈（-

1

2

，+∞）恒成立，
∴f（x）在（-

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減；
-

2+a

2a

=-

1

a

-

1

2

＞-

1

2

，
若-2＜a＜0，由f′（x）＞0，得2ax+2+a＞0，
∴-

1

2

＜x＜-

2+a

2a

，
再令f′（x）＜0，得x＞-

2+a

2a

，
∴f（x）在（-

1

2

，-

2+a

2a

）上單調(diào)遞增，在（-

2+a

2a

，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）證明：由（2）知，當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（-

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）＜f（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+2x）＜2x，
∴l(xiāng)n[（1+

1

3

）（1+

1

9

）…（1+

1

3n

）]
=ln（1+

1

3

）+ln（1+

1

9

）+…+ln（1+

1

3n

）
＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

，
∴（1+

1

3

）（1+

1

9

）…（1+

1

3n

）＜

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查單調(diào)性的討論，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．