Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=lnx-f（x）f'（x）
（1）求g（x）的最大值及相應(yīng)x的值；
（2）對(duì)任意的正數(shù)x，恒有f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析：（1）寫出g（x）表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)g′（x），在定義域內(nèi)解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0可得g（x）的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得其最大值，同時(shí)得相應(yīng)x值；
（2）f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)可化為(x+

1

x

)2-2-(x+

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，令x+

1

x

=t(t≥2)，由①分離出m后轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的最小值，構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)可求其最小值，再解關(guān)于m的不等式即可；

解答：解（1）g（x）=lnx-（x²-x）（2x-1）=lnx-2x³+3x²-x，
g′(x)=

1

x

-6x2+6x-1=

(1-x)(6x2+1)

x

，(x＞0)，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上是增函數(shù)，在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴，當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值g（1）=0；
（2）f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，即(x2-x+

1

x2

-

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，
可化為(x+

1

x

)2-2-(x+

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)①，
∵x＞0，∴x+

1

x

≥2（當(dāng)x=1時(shí)取到等號(hào)），
設(shè)x+

1

x

=t(t≥2)，①可化為t²-2-t≥tln（m²-2m-2），即ln(m2-2m-2)≤t-

2

t

-1當(dāng)t≥2時(shí)恒成立，
令h（t）=t-

2

t

-1，則h′（t）=1+

2

t2

＞0，
∴h（t）在[2，+∞）上是增函數(shù)，∴h（t）≥h（2）=0，于是ln（m²-2m-2）≤0，
解不等式0＜m²-2m-2≤1，解得-1≤m＜1-

3

，1+

3

＜m≤3，
∴m的最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及函數(shù)恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題是解決恒成立問題的常用方法，要注意掌握．