Question

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，當(dāng)x∈(0,1)時有f(x)＝.

(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；

(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

解析：　(1)設(shè)x∈(－1,0)，則－x∈(0,1)，

∵f(－x)＝－f(x)，且x∈(0,1)時，f(x)＝，

∴x∈(－1,0)時，

有f(x)＝－f(－x)＝－＝－.

在f(－x)＝－f(x)中，令x＝0，

f(－0)＝－f(0)⇒f(0)＝0.

綜上，當(dāng)x∈(－1,1)時，有：

f(x)＝

(2)f(x)在(0,1)上是減函數(shù)．

證明：設(shè)0<x₁<x₂<1，

則x₂－x₁>0,0<x₁＋x₂<2，

∴2x₁＋x₂>1,2x₂>2x₁，

∴f(x₂)－f(x₁)＝－

＝<0，

∴f(x₂)<f(x₁)，∴f(x)在(0,1)上是減函數(shù)．