Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{A+B}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}$），$\overrightarrow$=（$\frac{5}{4}$sin$\frac{A+B}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}$），其中A，B是△ABC的內(nèi)角，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）若a、b、c分別是角A，B，C的對(duì)邊，當(dāng)角C最大時(shí)，求$\frac{ab}{c^2}$的值．

Answer 1

分析 （1）由兩向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量垂直時(shí)數(shù)量積為0列出關(guān)系式，整理即可求出tanA•tanB的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論判斷得到tanA與tanB都大于0，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出tanC的最大值，以及此時(shí)tanA與tanB的值，進(jìn)而求出c為最大邊時(shí)，tanA，tanB以及tanC的值，求出sinC與sinA的值，原式利用正弦定理化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{A+B}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}$），$\overrightarrow$=（$\frac{5}{4}$sin$\frac{A+B}{2}$，cos$\frac{A-B}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，即$\frac{5}{4}$sin²$\frac{A+B}{2}$+cos²$\frac{A-B}{2}$-$\frac{9}{8}$=0，
整理得：-5cos（A+B）+4cos（A-B）=0，即cosAcosB=9sinAsinB，
∴tanA•tanB=$\frac{1}{9}$；
（2）∵tanA•tanB=$\frac{1}{9}$＞0，且A、B是△ABC的內(nèi)角，
∴tanA＞0，tanB＞0，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{9}{8}$（tanA+tanB）≤-$\frac{9}{8}$×2$\sqrt{tanAtanB}$=-$\frac{3}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=$\frac{1}{3}$取等號(hào)，
∴c為最大邊時(shí)，有tanA=tanB=$\frac{1}{3}$，tanC=-$\frac{3}{4}$，
∴cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{4}{5}$，cosA=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$，sinB=sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
則由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得：$\frac{ab}{c^2}$=$\frac{sinAsinB}{si{n}^{2}C}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{9}{25}}$=$\frac{5}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及正弦定理，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．